广义积分收敛性判定的方法

本科毕业论文开题报告
论文题目广义积分收敛性判定的方法
和技巧及其与定积分、数项
级数的异同点
　　　　　　　　学    院   数学与信息科学学院  
　　　　　　　　专    业           教师教育        　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选题的意义和研究现状
选题的目的、理论意义和现实意义      
　　目的：为了让初学者更好的学习和理解广义积分，从而对定积分和后续的数项级数连贯起来，而要解广义积分首要的就是要先判定积分的收敛性。若积分不收敛，就根本不用去讨论如何计算了。在广义积分中收敛性判定的方法灵活多样，通过总结分类，让学生问更容易更轻松的学习广义积分。
  理论意义：广义积分的收敛性判定方法灵活多样，同一个题目有很多种不同的做法，例如：判定这个dx的敛散性可以用比较判别法也可以用狄利克雷判别法，只是学生对那种方法比较熟悉，那种方法掌握的比较好。因此做一个比较明确的归纳有助于学生更好的学习广义积分。
　　　现实意义：广义积分在物理、化学、生物都有很广泛的应用，特别是在物理的各个行业，经常要运用积分去解决计算上的问题，对收敛性判定不好很大程度上会影响后续的计算方法。所以学习好广义积分有助于学生们解决各个行业的计算问题。
与选题相关的国内外研究和发展概况                                      
　　　该理论在诞生之前就有数十位数学家研究过，直到牛顿和莱布尼茨在前人的基础下改进加以应用，总结出《自热哲学的数学原理》和《微积分的历史和起源》创立了微积分学。后人在他们的基础上不断的发展、完善。如图灵、哥德尔和冯·诺伊曼三位数学家，虽然没有拿到尓茨奖但却从微积分思想出发给计算机领域奠定了基础。
   在我国，微积分很早就得到了应用，特别是祖冲之运用割圆术求出圆周率的值，就是运用极限的方法，也是微积分中的一种常用方法。但是在元代的八股取士制造成学术上的大倒退，但是我国在改革开放以来也有不少人在微积分领域有所突破。如我国的数学泰斗陈省身先生所研究的微分几何领域，便是利用微积分的理论来研究几何，这门学科对人类认识时间和空间的性质发挥的巨大的作用。我相信在不久的未来我们会在微积分领域有更多的突破。
二、研究方案
1．研究的基本内容及预期的结果（大纲）
　　　基本内容：首先要引入广义积分的两种定义。再从定义出发分类讨论两种积分的收敛性的各种方法，对无穷积分和瑕积分的每一种方法举出特殊的例子，并且详细的说明各自方法的优劣性，然后综合所有方法，作一个评价，让初学者更容易理解广义积分。
　　　再次，讨论其与定积分、数项级数之间的关系，考虑它们的各个方面的异同点，包括性质、定理、证明等等，从不同的角度去分析。
　　　预期结果：让初学者更容易明白和理解广义积分，弄明白广义积分与定积分、数项级数之间的关系。
大纲：
前言
广义积分收敛性的判定方法
 2.1无穷积分收敛性的判定方法
 2.1.1定义法
 2.1.2被积函数不变号情形时的判别方法
   2.1.2.1比较判别法
   2.1.2.2比较判别法极限形式
   2.1.2.3柯西判别法
   2.1.2.4用级数方法判定收敛性
 2.1.3被积函数为一般情形
   2.1.3.1柯西收敛准则
   2.1.3.2绝对收敛及条件收敛判别法
   2.1.3.3狄利克雷判别法与阿贝尔判别法
 2.2无穷积分与瑕积分的联系
 2.3瑕积分收敛性判别法
   2.3.1瑕积分的定义
   2.3.2瑕积分被积函数不变号情形
      2.3.2.1比较判别法
      2.3.2.2比较判别法的极限形式
      2.3.2.3柯西判别法
   2.3.3瑕积分被积函数为变号情形
      2.3.3.1柯西收敛准则
      2.3.3.2绝对收敛与条件收敛
      2.3.3.3狄利克雷判别法与阿贝尔判别法
 2.4综合运用无穷积分与瑕积分判别法判定广义积分收敛性的例子
 2.5无穷积分与定积分、数项级数的异同点
 2.6结束语
3致谢
4参考文献

（不够可另附页）
2．拟采用的研究方法
采用案例分析的方法；
通过查阅相关书籍，上网查看相关研究方向的理论和资料以及指导老师的指导，总结归纳广义积分收敛性方法；
研究所需条件和可能存在的问题
所需条件：广义积分收敛性证明方法与定积分、数项级数相关资料。
可能存在的问题：
定理方法证明的严密性；
选取的例子是否具有代表性，能否带表这一类问题；
在收敛性分类方法是否已覆盖全部广义积分。

三、研究进度安排、参考文献及审查意见
研究进度安排
（1）2011年2月28日至3月6日：整理资料，拟定论文大纲，完成《毕业论文开题报告》；
（2）2011年3月7日至4月3日：完成论文第一稿；
（3）2011年4月4日至5月1日：完成论文第二稿；
（4）2011年5月2日至5月22日：完成论文第三稿（定稿）；
（5）2011年5月23日至6月3日：提交论文文字稿、电子稿,进行论文答辩
应收集资料及主要参考文献（不少于8条）
　要收集文献中的例题方法归类分析；
　参考文献：
毛纲源.考研数学（数学一）常考题型及其解题方法技巧归纳[M].湖北：华中科技大学出版社，2004；
裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2002；
刘勇，对反常积分非常规收敛判别法的研究，江苏：理科爱好者，2009；
何忆捷，对一类反常积分收敛判别题的研究，上海：高等数学研究，2005；
石殿璋，反常积分的数值积分法，西安：纺织基础科学学报，1990；
边平勇，反常积分的敛散性极限审敛法的等价定理，山东，山东理工大学学报，2006；
徐晶，一种反常积分与正项级数收敛的判别法，黑龙江，高等数学研究，2005；
Γ.Π.吉米多维奇，数学分析习题集题解（三），山东科学技术出版社，1981；

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